13. Finite Difference Method

열전달

PART 13. Finite Difference Method 유한 차분법

우선, 2-D에서의 Heat conduction은 다음과 같이 쓸 수 있다.

이것을 구하는 solution은

Exact/Analytical : Separation of Variables

Approximate/Graphical(q=0) : Flux Plotting

Approximate/Numerical : Finite-Difference

다음과 같이 3가지가 있는데,

우리는 여기서

Finite-Difference만 다룬다.

열전달이 발생하는 매질에

아래와 같이

격자를 적용할 수 있다.

이때, 가정 몇 가지가 사용된다.

1. 사각형 내의 온도 분포는 없다고 본다.

2. 주위 node에서만 열교환이 발생한다.

3. 중간점의 미분 값은 양 점사이의 slope 값과 같다

4. △x = △y

우선, x방향만 보면 다음과 같다.

위와 같이 m+1/2에서의 온도 구배는

m+1과 m 사이의 slope와 같다.

일종의 중간값 정리

이계도 함수는 다음과 같이 표현이 된다.

y축에 대해서도 같은 방식으로 이계도 함수를 구한다.

이때, 두 항의 합은 0이 되어야한다.

따라서, 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.

위와 같은 과정은

여러 매질에서 적용이 될 수 있다.