23. Differential control volume

열전달

PART 23. Differential control volume

위와 같이

미소한 control volume에 대해

에너지 밸런스 식을 세우면

다음과 같다.

적분 시

이때, 외부에서 들어오는 열 flux에 대해서도

식을 세우면 다음과 같다.

위 두 식은

밸런스를 이루어야 하므로

아래와 같은 식을 얻을 수 있다.

Case 1. Heat flux 가 일정 

위 식에서 우변의 모든 항은 상수이므로

x에 대해 적분을 하면

아래와 같은 식을 얻을 수 있다.

즉, 온도가 x에 대해 선형적이다.

1. Tm이 x에 대해 선형적

2. 

3. 가 일정한데

초기에 유체가 들어가면 fully developed 되기 전까지

h가 감소하므로

온도차이가 상승하다가

fully developed 되면 h가 일정하여 온도차가 일정해진다.

Case 2. Ts가 일정

온도차이를 다음과 같이 정의한다.

이때, Ts는 일정하고

Tm만 변수이기 때문에

미분하면 다음과 같다.

변수분리

위 식을 적분한다.

이때, 가운데 변의 분모는 일정하므로

Ts - Tm,out 은  지수적으로 감소한다는 것을 알 수 있다.

따라서, 아래와 같은 그래프가 나온다.

한편, 위와 같이 온도가 지수적으로 감소하면

q_conv을 계산하기 어렵다.

따라서, 우리는 log mean temperature을 도입한다.

한편,

위 식을 q_conv식에 대입하면,

따라서,

여기서, As는 겉표면의 넓이이다.

(P는 둘레이고 L은 길이)