16. Partial solution of Fick's law

16. Partial solution of Fick's law

R이 극으로 와서 O로 변환되는

Oxidation을 기준으로 한다.

t에 대한 조건 1개와 x에 대한 조건 2개가 필요

1) 초기에 반응이 없음

2) x=0

3) x가 무한대로 갈 때

x가 무한대로 가면 Surface농도와 bulk농도가 동일하기 때문에

△C = 0 이 되어야한다.

따라서, V = 0

다시 라플라스 역변환을 하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

j는 표면에서 벌크로 가는 것으로 정의한다.

Oxidation이기 때문에, R은 벌크에서 표면으로 온다.

따라서, 부호가 음수가 되기 때문에

Anode current 기준으로 -을 붙여야한다.

R과 O의 크기가 비슷할 경우 R과 O의 Diffusivity가 동일하다.

위에서 얻은 Solution을

3가지 경우에 대해 적용이 가능하다.

1) Planar electrode

2) Spherical electrode

3) 전류 일정

1) Planar electrode

조건 3개

즉, 시간이 갈수록 전류가 감소

D가 크면 Reactant의 공급이 잘되어 전류가 증가

Bulk 농도가 크면 전류가 증가

2) Spherical electrode

r방향으로의 농도 변화만 존재한다.

아주 큰 에너지를 빼버리면(load) Cathode에서의 Reduction 반응이 매우 빠르다.

Limiting current를 형성

참고로 위의 지배방정식은 다음과 같이 구할 수 있다.

원판의 코트렐 식과 비교하여

1/r 만큼 더 커진다.

3) 일정 전류 하에서 농도 변화

앞에선 Bulk 농도를 일정할 때, 전류 변화를 봄

반대로 전류를 일정하게 하고 농도 변화를 측정

원래 limiting current 조건을 사용했지만,

전극 current가 일정하다는 것을 새로운 조건으로한다.

i가 일정하다는 것은 flux가 일정하다는 것과 동일하다.

여기까지가 full solution

아래부터는 Partial solution

역변환 + Convolution을 사용

Full solution이나 Partial solution이나 동일하다.