10. 2차 공정

공정제어

PART 10. 2차 공정

위 그림은 일반형 2차 공정의 모형인

spring-mass-damper 계이다.

spring은 운동에너지를 보존

damper는 운동에너지를 마찰열로 소산

mass는 관성을 유지한다.

외부의 힘 x(t)를 주었을 때,

응답 y(t)에 대한 식은 다음과 같이 얻어진다.

질량 * 가속도 = 전체 외부의 힘

이므로 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.

k는 탄성계수, C는 소성계수이다.

이때, 각 계수들은 다음과 같이 정의된다.

최종적으로 다음과 같은 2차 공정 모델식을 얻을 수 있다.

ζ는 감쇠비 damping ratio라 부르고

wn은 고유진동 주파수라 부른다.

1. 계단입력에 대한 응답

계단입력이면 위의 식은 다음과 같다.

이때, 특성방정식은 두 개의 근을 갖는다.

이 근은 ζ의 크기에 따라 안정성이 달라진다.

1) 과도감쇠 Overdamped (ζ>1) 응답

두 극이 모두 실수인 경우

y(s) 식이 다음과 같이 표현될 수 있다.

위 식에서 τ1, τ2를 구한다.

이 응답은 아래와 같이

진동이 없이 수렴하는 그래프로 나오게 된다.

ζ는 위 식과 같으므로

ζ>1 이라면,

C가 k에 비해 크기 때문에,

spring에 의한 진동이 응답에 나오지 않는다.

또한, 초기값 정리를 통해

t=0 에서 기울기 0을 가진다는 것을 알 수 있다.

2) 임계감쇠 Critically damped (ζ=1) 응답

따라서, τ는 다음과 같다.

이때, 위에서 제시한 과도감쇠 응답 그래프에서

1.0 그래프가 임계감쇠이다.

이것은 진동이 나타나기 바로 직전의 그래프(임계 critical)이다.

3) 과소감쇠 Underdamped (ζ<1) 응답

K가 1이라면,

이때, 얻어진 부분분수들을 역변환한다.

위 식을 대입하면 다음 식이 얻어진다.

이고

이므로

ζ가 작다는 것은

소성이 적고 탄성이 강하다는 것을 의미하고

진동이 강하게 나타난다.

위 그래프와 같이 ζ가 작아질수록

진동이 점점 강해지는 것을 알 수 있다.

이때, 공진현상이 발생하는데

이것은 뒤쪽의 사인파입력에 대한 응답에서

다루도록 하겠다.

한편, 과소감쇠의 계단응답에서는

응답의 특성을 표현하기 위해

여러 개념을 도입한다.

1) Overshoot

B/A로 정의

진동의 크기를 나타낸다.

다음과 같이 유도된다.

위에서 구한 y(t) 식을 미분하여

t_max 값을 찾는다.(K=1)

이때, OS는 B/A 이고 A=1 이므로 B 값

즉, 최대값에서 1을 뺀 값이 OS이다.

2) 쇠퇴비 Decay ratio

진동의 진폭이 주기가 반복되면서

얼마나 줄어드는 가를 나타낸다.

쇠퇴비는 다음과 같이

OS의 제곱이다.

3) 상승시간 Rise time

응답이 얼마나 빠르게 상승하는 가의 지표

10%에서 90%에 도달할 때 까지의 시간

4) 정착시간 Settling time

y(t)가 어떠한 수렴 지점에서부터

5% 이내로 들어갔을 때

초기 시간을 말한다.

정착시간을 그래프로 나타내면

다음과 같다.

2. 사인파입력에 대한 응답

2차 공정의 주파수 응답의

AR과 Φ는 다음과 같다.

w가 무한대로 가게 되면

기울기가 -2가 된다.

2차 공정이므로 phase가 -180도이다.

이때, ζ가 1/root(2) 보다 작으면

공진이 생긴다.

공진이란, 계의 고유진동수와 일치하는 운동에너지가

외부로부터 계속 가해져

에너지가 축적이 되어 진폭이 한없이 커지는 현상을 말한다.

예를 들어, 농구공을 바닥에 튕기는데

농구공이 올라올 때

공중에서 정확하게 운동에너지가 0이 되는 순간

에너지를 가한다.

이러한 과정이 계속되면 공진이 발생한다.

공진은 공진 peak에서 생기는데,

이것은 다음 식으로 찾을 수 있다.