17. 피드백 루프 해석

공정제어

PART 17. 피드백 루프 해석

위와 같은 블록선도가 존재한다.

이 공정에서는 온수 사용량을 주요 외란으로 가정한다.

직렬로 연결된 선형공정들의 통합 전달함수는

각 전달함수의 곱이므로

다음 식이 성립한다.

따라서,

위 블록선도를

간소화하면

다음과 같다.

이때, 위 루프를 식으로 나타내면

다음과 같다.

y에 대해 식을 정리하면 다음과 같이

전달함수를 얻을 수 있다.

이때, 

라고 두자.

위 식을 전달함수에 대입하면

다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

이때, 루프 전달함수를 다음과 같이 정의하면,

닫힌 루프 특성방정식은 다음과 같다.

이전 포스트에서 설명한 것과 같이

닫힌 루프 특성방정식의 근

즉, 극이 복소수 좌측에 존재하면 안정하며

극이 imaginary 축이나 우측에 존재하면

진동하거나 발산하여 불안정하다.

1) 1차 공정

1차 공정이 존재하고

비례제어를 한다고 가정한다.

그렇다면, 특성 방정식은 다음과 같다.

이때, 극은 다음과 같다.

이때, PID 제어기는

항상 다음을 만족하는 쪽으로

동작방향이 결정된다.

(Direct/Reverse)

따라서, s는 항상 음수이므로

어떤 값을 가지던 공정은 안정하다.

이때, 계단입력이라고 하면

offset을 계산할 수 있다.

위와 같이 1차공정, 비례제어 식이 주어졌을 때,

Kc가 무한대로 가면

설정값은 1로

외란은 0으로

수렴한다는 것을 알 수 있다.

하지만, Kc는 무한대에 도달할 수 없으므로

필연적으로 offset이 생길 수 밖에 없다.

이것은 아래 그래프를 통해서도

알 수 있다.

한편, 잔류오차는 최종값 정리를 통해 구할 수 있다.

오차에 대한 식을 나타내고 최종값 정리를 통해

잔류 오차를 구해보면 다음과 같다.

2) 3차 공정

3차 공정을 비례 모드로 제어를 한다하자.

공정과 제어기의 전달함수는 다음과 같다.

그렇다면 다음 식을 얻을 수 있다.

특성방정식을 통해 안정성을 판단하면

Kc>8 이면 응답이 불안정해지는 것을 알 수 있다.

3) FOPDT 공정

FOPDT을 비례 모드로 제어를 한다하자.

공정과 제어기의 전달함수는 다음과 같다.

그렇다면 다음 식을 얻을 수 있다.

특성방정식을 통해 안정성을 판단하면

Kc>8.5 이면 응답이 불안정해지는 것을 알 수 있다.

한편, 3차공정과 FOPDT공정의

특성방정식을 비교해보면,

3차공정은 다항식이라

어느정도 식의 전개를 이용하거나

후에 배울 Routh Array 방식을 통해

쉽게 안정성을 판별할 수 있지만,

FOPDT에는 exp 함수가 존재하기 때문에

안정성의 판별하는 것이 매우 복잡하다.

따라서, 한계감도법이나 주파수 응답법을 통해

안정성을 판별한다.