18. 안정성 판별법

공정제어

PART 18. 안정성 판별법

안정성 판별은

제어기를 설계하거나 조율할 때 매우 중요하다.

지나치게 안정하면 제어가 너무 느릴 수 있고,

안정성을 벗어나버리면 제어가 불가능하다.

제어루프의 불안정이 시작되는 한계점을

한계이득 ultimate gain 이라고 한다.

여기서 소개할 안정성 판별 방법은 크게 3가지가 있다.

1. Routh Array 방법

다음과 같이 다항식의 최고차항의 계수가 양수가 되도록 정리한다.

루스 어레이는 다음과 같이 구성된다.

각 열 요소의 수는 계속 줄게되고

array 구성은 끝이 난다.

이때, 다음의 관계를 만족한다.

1) 모든 요소가 양이면 모든 근은 왼쪽에 존재

즉, 안정하다.

2) 복소수 오른쪽에 존재하는 근의 수는

요소의 부호가 바뀌는 회수와 같다.

(부호가 바뀌는 것이 1회만 존재하도 불안정하다)

3) Array 구성 과정에서

첫번째 행의 요소가 0이 되면

허수축 위에 근이 존재함을 의미하며

array 구성은 더 이상 진행될 수 없다.

이전 포스트에서 제시된

3차공정, 비례제어의 Routh array는

다음과 같다.

특성방정식은 다음과 같다.

배열을 하면 다음과 같다.

이때 첫번째 행의 모든 요소가

양이 되어야 안정하므로

다음 식이 만족한다.

2. 한계 감도법 Ultimate Sensitivity Method

Routh array는 다항식에서만 적용이 가능하다.

FOPDT 같은 경우 적용이 불가능

따라서, 한계 감도법을 사용한다.

위 그래프와 같이

Kc를 올리다보면

진동이 지속되다가

발산을 하게된다.

이것은 근의 일부가

순수한 허수축까지 이동하는 것을 의미한다.

즉, s=jw가 특성방정식의 근이 됨을 의미하며

다음의 관계를 이용하여

한계이득을 구할 수 있다.

이전 포스트에서 제시된

3차공정, 비례제어의 한계 감도법은

다음과 같다.

실수부와 허수부 모두 0이 되어야하므로

미지수가 2개인 연립방정식이 나온다.

즉, -1과 8이 한계인 것을 알 수 있다.

다음으로 FOPDT, 비례제어일 때를 살펴보자.

마찬가지로 연립방정식을 푼다.

즉, 8.5가 한계이득인 것을 알 수 있다.

3. 주파수 응답 해석 Frequency Response Analysis

: Bode 안정성 판별법 Bode Stability Analysis

일반적으로 하나의 신호는

많은 주파수를 가진

사인파 신호의 합이다.(푸리에)

Asinwt의 신호가 Gp를 통과하면

AR 만큼 증폭(혹은 감쇠)되며

위상각 만큼 지연(혹은 선행)된다.

어떠한 신호가

위의 블록선도를 통과한다하자.

 Kc, Gp, -1의 블록을 통과하면서

진폭과 위상이 변화한다.

우선 위상에 대해 살펴보면,

Kc는 영향을 주지 않고

Gp, -1이 위상을 변화시킨다.

-1블록은 180° 위상지연을 겪게 된다.

이때, Gp에서도 180° 위상지연을 겪게 되면,

최종적으로 360°의 위상지연을 가지게 되고,

원래의 신호와 동일한 위상을 가지게 된다.

이것을 동기라고 한다.

동기가 이루어진 다음에

진폭이 1 이하라면

그 신호는 소멸되고

1 이상이라면

그 신호는 발산해버린다.

이때, 진폭은

Kc와 Gp에 의해 영향을 받고

-1에 의해서는 영향을 받지 않는다.

즉, Kc와 Gp을 거치고도

진폭이 1이 유지되면

동기가 된 신호는

계속해서 유지되면서

루프를 뱅글 뱅글 돌 것이다. 

그것의 조건은

다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

이때 위 식을 만족하는 주파수를 crossover 주파수라고 한다.

마찬가지로

3차 공정에 비례제어를 한다하자.

비례제어를 제외한 3차 공정의 Bode 선도는 다음과 같다.

즉, 공정의 위상이

-180°인 주파수에서

진폭은 -18db이라는 것을 알 수 있다.

따라서, 한계이득은

이 식에 의해서

8로 계산할 수 있다.

이것을 통해 알 수 있는 것중 하나로

공정이 1차 혹은 2차 공정일 경우

위상각이 -90° 혹은 -180° 이기 때문에

crossover 주파수가 존재하지 않는다는 것이고,

비례제어가 무엇이든 안정하다는 것을 의미한다.