19. 제어기의 조율 Ⅰ

공정제어

PART 19. 제어기의 조율 Ⅰ

이득여유와 위상여유는

경계안정상태에서

얼마나 안정한지 알려주는 지표이다.

위 그래프처럼

Kc는 8일 때에 w_co는 1.7이며

이다.

Kc를 8보다 낮추면

루프는 안정한 상태가 된다.

이때, 어느 정도 안정화가 되었는지를

이득여유와 위상여유의 개념으로 표현한다.

이득여유는 아래와 같이 정의한다.

위상여유는 루프 전달함수의 이득이 1이 되는 주파수를 찾은 후

이 주파수에서의 위상각과 -180°의 차이로 정의한다.

이득여유와 위상여유가 커질수록

제어루프는 안정화되지만

응답이 지나치게 느려질 수 있다.

일반적으로 이득여유는 2~4

위상여유는 30~50°정도로 조율하는 것이 바람직하다.

한편, PID 제어기만으로

원하는 이득여유와 위상여유를 얻지 못할 때에는

보상기를 설치하기도 한다.

그 중 하나가 lead-lag 보상기로

다음 식과 같다.

만약, τ_ld가 1이고 τ_lg가 0이라면

K(τs+1) 의 식을 가지게 된다.

이것이 곱해지면

AR에는 변화가 없고,

위상각만 커지게 되어

위상인도가 발생한다.

1) Ziegler-Nichols 조율법

앞의 개념을 실험적으로 적용한 것이다.

step 1 :

제어루프가 안정된 상태에서 공정을 정상상태에 안정시킨다.

step 2 :

PID 제어기의 I, D 동작을 off 시키고,

P 동작만을 on 시킨다.

step 3 :

Kc를 작은 값에서 시작하여 서서히 증가시킨다.

step 4 :

Kc를 증가시키다 보면 진동이 계속되는 시점이 나타난다.

이때의 Kc를 한계이득, 진동주기 Pu가 한계 주기가 된다.

step 5 :

주어진 표를 참고하여 조율한다.

0.5Kcu는 이득여유를 2로 설정한 값으로

1/4-감쇠비가 나타난다.

2) Relay 피드백

한계이득과 한계주기를 실험적으로

결정하는 방법 중 하나로

relay 피드백을 이용하는 것이다.

위에서 얻은 그래프를 통해

아래 식에 대입하면 Kcu를 얻을 수 있다.

3) 모델근거 조율법 Model-based tuning

이 조율방법은 FOPDT 모델에

ZN 조율을 적용한 것이다.

0.1< d/τ <1.0 을 만족한다면

아래의 표를 이용하여 조율이 가능하다.

여기서 d/τ는 대상공정의 피드백 제어가

얼마나 어려운 가를 나타내는 지표이다.

지연시간 d가 길다는 것은

공정의 지연이 길다는 것이고

조율할 때 어려움이 있을 수 있다.

만약 d/τ>1.0 이라면,

지연시간보상 제어를 사용한다.

(Dead time compensator 혹은 Smith predictor)

한편, 1/4 감쇠비는 좋은 제어성능을 표현하기에 적절치 않은 면이 있다.

좀 더 합리적인 방법은

제어오차 적분값 최소화에 근거한 조율이다.

최소화 목적함수로는 다음 3가지가 존재한다.

IAE는 절대오차 절대값의 합이다.

ISE는 제어오차 자승의 합으로

큰 오차는 더욱 크게

작은 오차는 더욱 작게 반영 된다.

따라서, ISE 조율은 큰 오차는 잘 억제시키지만

작은 오차는 잘 억제가 안되서

설정 값을 중심으로 진동이 지속되는 응답이

나올 수 있다.

ITAE는 시간이 가중치로 곱해져

시간이 지난 후에 나타나는 제어오차는 ITAE에 큰 값으로 반영된다.

따라서, 시간이 지난 후의 제어오차는 강하게 억제하여

빠르게 설정값에 안정화시키는 효과를 준다.

위 조율방법을 토대로

PID 제어를 하였을 때

아래의 그래프를 얻을 수 있다.

한편, 실제 공정에서는

SP 변화와 load 변화 둘 다 존재한다.

그렇다면 이때는 어떤 값을 파라미터로 쓰는 것이 나은가?

SP 변화가 있을 때 보다

Load 변화가 있을 때

더 강한 제어를 한다.

왜냐하면 SP는 변화가 클 것이라 예상을 하고

느슨한 제어를 하고,

Load 변화는 작을거라 예상을 하여

강한 제어를 한다.

따라서, 아래 그래프와 같이

SP 변화가 있는 곳에 Load tune을 하면

강한 제어로 인하여 OS가 생기고

진동이 심해진다.

Load 변화가 있는 곳에 SP tune을 하면

느슨한 제어로 인하여 시간이 오래 걸린다.

따라서, SP 변화의 초기에 에러가 큰 것을 방지하면

빠르고 안정한 제어를 할 수 있다.

이것을 위하여

Load tune을 하고

I-PD 제어를 사용하면

초기 SP 변화를 반영하지 않고 제어가 빠르고 안정하다.

그에 따라서 조율을 하면

아래 그래프와 같이 응답이 얻어진다.