11. Stress Tensor

유체역학

PART 11. Stress Tensor

벡터는 본래 방향을 가지고 있다.

앞선 개념들로부터 Stress는 힘을 면적으로 나눈 것이다.

힘도 벡터이고, 면적도 벡터이므로

스트레스는 방향을 2개 가지고 있다.

그것을 Tensor라고 칭한다.

노말 스트레스

시어 스트레스

둘 다 방향이 2개이다.

어떤 면이 힘을 받을 때

아래와 같이

방향에 따라 변형이 달라진다.

즉, 같은 f가 작용해도 힘을 받는 면의 방향에 따라서 deformation이 달라진다.

예를 들어,

τ(yz)의 의미는 단위 면적당 y면의 z방향 힘

τ(yx)의 의미는 단위 면적당 y면의 x방향 힘

을 의미한다.

위 그림처럼

똑같은 힘의 방향을 주었을 때,

같은 변형이 일어나야만 한다.

τ(yx)=100이라면,

위쪽 면을 +라 했을때 힘이 +방향이여야, 텐서가 +이므로 오른쪽으로 힘이 작용하고

아래쪽 면을 -라 했을때 힘이 -방향이야, 텐서가 +이므로 왼쪽으로 힘이 작용한다.

텐서의 특징을 살펴보면,

1. Symmetric 하다.

2. rectangular 좌표계에서 어떤 방향에서도 diagonal의 합은 변하지 않는다.

우선,

1. symmetric함

을 증명해보자.

위와 같이 아주아주아주 작은 CV가 있다고 하자

그런 CV에 힘(토크)이 작용한다고 하자.

좌변 : Angular 모멘텀 변화량

우변 : 전체 토크 값

즉, 시계 반대 방향으로 돌리려는 토크(+방향) + 시계 방향으로 돌리려는 토크(단, 시계 방향이 -방향임)

그런데 CV는 매우 작으므로

과 가 0으로 수렴한다.

따라서, T(12) = T(21)

이것을 3D 좌표계에 적용하면

다음을 유도 할 수 있다.

쉽게 말하면, 보존 법칙이 적용되야 하기 때문에

Symmetric 하다고 볼 수 있다.

위와 같은 성질으로 3X3을 모두 측정 안해도

Diagonal을 포함한 6개만 측정하면 모든 텐서가 결정된다.

2. diagonal 합이 일정함을 보기전에

우리는 isotropic함을 알아야한다.

텐서가 모든 방향에 대해 같다는 뜻이다.

수학적 증명이 가능하므로 생략한다.

2. diagonal 합은 일정하다.

(traceT는 일정)

을 살펴보자.

이것이 가진 의미를 살펴보면,

유체가 흘러갈때, 좌표축을 어떻게 잡더라도 그 합은 같다.

→ Isotropic하다

우리는 여기서 bulk stress (=diagonal의 평균)를 정의한다.