12. Navier-Stokes equation

유체역학

PART 12. Navier-Stokes equation

우리는 CV를 통해서 위와 같은 식을 얻을 수 있다.

(PART 09. 인테그랄 모멘텀 밸런스 참고)

위 식에서 dF는 다음과 같다.

그것의 증명은 다음과 같다.

또한, dS·T=T·dS 이다.

그것의 증명은 다음과 같다.

(위 증명은 Kronecker delta를 참고하길 바란다.)

따라서, 처음 제시했던 식

이것은

아래와 같이 나타낼 수 있다.

여기서 PART 10. 미분 매스 밸런스에서 나왔던

가우스 발산 정리를 사용하면

다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

마지막으로, 부피에 대한 적분을 다 없애버리면

(부피가 1인 매우 작은 CV는 밀도가 일정)

다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

위 식을 통해

각 식에 대한 물리적 의미도 알 수 있다.

위 식은 매스 밸런스 식을 적용할 수 있다.

따라서, 다음과 같은 식을 얻게된다.

이것이 navier-stokes 식

이 식을 보존 방정식 conservation equation 이라고 부른다.

이름에서도 알 수 있듯이 모든 곳에서 적용이 된다.

하지만, 모든 유체는

공기, 물에 따라 같은 v로 흘러도 가해준 힘이 다르다.

유체의 종류에 따라 바뀐다.

그것을 대변해주는 식을

구성 방정식 constitutive equation 이라고 한다.

이것은 다음 장에서 설명하도록 하겠다.