13. 구성 방정식

유체역학

PART 13. 구성방정식 Constitutive equation

힘과 변형의 관계식이다.

유체 종류 따라 방정식은 바뀐다.

공기니? 물이니? 꿀물이니?

예를 들어, 다음은 solids의 가장 간단한 구성 방정식이다.

우리가 다루는 유체는 보통 비압축성 incompressible 한 newtonian fluids 이다.

점성 유체의 가장 간단한 구성 방정식이다.

결론부터 말하자면,

뉴토니안 유체의 구성 방정식은 다음과 같다.

하나의 term 들을 살펴보면,

1번 term은

단위면적당 normal force

를 나타낸다.

2번 term은

다음 식에서 구할 수 있다.

유체의 변형은 2가지 과정으로 이루어진다.

1. pure shear

2. rotation

그런데 rotation은 힘과 변형의 관계식과는 무관하다.

rotation이 된다고 변형이 되는 것은 아니고 단순히 회전하는 것이다.

(좌표계를 바꿨다고 생각할 수 있다.)

최종적으로, 점성에 비례하는 것이므로

가 나온다.

3번 term은

단위부피당 단위시간당 volume efflux로

단순히 유체의 팽창, 수축이라고 생각하면 된다.

여기서, 2/3이 곱해지는 것은 diagonal의 합이 같다는 성질 때문이다.

하지만,

우리가 다루는 incomressible 유체는

팽창, 수축은 없으므로 0으로 두면 된다.

구해진 T

를 나비에르 스토크스 식

에 대입을 한다.

수학적 과정은 생략하기로 하자.

결과적으로, 우리는 비압축성 뉴토니안 유체의

나비에르-스토크스 식을 구할 수 있다.