16. Navier-Stokes equation in dimensionless form

유체역학

PART 16. Navier-Stokes equation in dimensionless form

비압축성 뉴토니안 유체의

나비에르 스토크스 식을 적용하면

다음과 같다.

중력은 무시하고

dynamic만 생각해보자.

이 식은 오직 유체의 흐름에 의해서만 나온다.

또한, 우리는 각 실제하는 텀에 대해

평균적 크기 characteristic quantity로 나눠서

무차원 variable을 얻을 수 있다.

이 dimensionless variable의 대략적인 크기는 1 근처이다.

우리는 나비에르 스토크스 식을

무차원으로 나타내면

다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

위 식을 로 나누면

다음과 같은 식이 얻어진다.

여기에 무차원수들을 대입하면

다음과 같은 식이 얻어진다.

예를 들어, 우리가 압력을 모를 때

압력을 측정해야만 알 수 있다.

하지만 위 식을 사용하면

측정을 하지 않고 대략적인, 평균적인 압력을 구할 수 있다.

우리는 유체가 빠를 경우와 느릴 경우로 나누어서 생각해야한다.

경우를 나눈 이유는?

느린 유체식을 빠른 유동에 적용하면,

각각의 Dimensionless term의 크기를 1이라고 할 수 없다.

1. 유체가 아주 빠를 때,

Re가 큰 경우일 때,

즉, 관성 텀이 지배적일 때를 말한다.

Re가 매우 크면 우변을 무시 할 수 있고,

St=1 로 두면,

Euler equation을 얻을 수 있다.

장점 : 유체에 회전하는 성분이 없을 때,

라플라스가 적용되어 쉽게 근을 구할 수 있다.

단점 : 조건을 하나만 부과 가능하다.

바운더리 컨디션을 사용할 수 없다. → Boundary-Layer equation으로 해결

2. 유체가 아주 느릴 때,

Re가 작은 경우일 때,

즉, 점성 텀이 지배적일 때를 말한다.

Re가 거의 0에 가까워지고 St=1 이라고 하자.

그렇다면 우리는 Stokes Flow 식을 얻을 수 있다.

장점 : 쉽게 근을 구할 수 있다.

단점 : 실린더에 적용 시 수학적 모순이 발생한다.