20. Blasius solution

유체역학

PART 20. Blasius solution

지금까지 해왔던 것을 쭉 정리해보면 다음과 같다.

빠른 유동에서 N-S식을 dimensionless 하게 만들어

우리는 Euler equation을 유도할 수 있었다.

하지만, Euler equation은 Boundary layer에서는 적용이 안되는 단점이 있었다.

따라서, B-L만 따로 떼어내서 B-L식을 따로 적용하였다.

이때, B-L에서 압력이 필요한데 그것은 Euler equation을 통해서 구할 수 있었다.

여기서, B-L에서의 유동은 특별한 유동이기 때문에,

partial differential 방정식을 ODE로 바꿀 수 있다.

평면이라 V=0 이고,

물질 보존에 의해 U=const. 하다.

여기서, Pressure gradient가 없다.

여기서 구한 P식은 BL에서 적용이 가능하다.

위 식에 의해 u에 대한 y방향 조건이 2개 필요하고,

u에 대한 x방향 조건 1개가 필요하다.

kinematic viscosity는 층류일때만 적용이 된다.

v에 대한 x방향 조건이 1개 필요하다.

따라서, 조건은 총 4개가 필요하다.

이것은 PDE인데

위에서 언급 한 것처럼

ODE로 바꿀 수 있다.

조건 4개는 다음과 같다.

위의 식과 조건들을 스트림 함수로 바꿔보자.

여기서 2번째 조건을 보면

y=0 일 때, Ψ=0 인 것을 볼 수 있다.

이것은 임의로 편의를 위해서

Ψ=0 을 설정 한 것이다.

Ψ는 미분 값이 의미가 있지

그것의 자체 값은 중요하지 않다.

여기서 similarity solution을 가정한다.

similarity란 쉽게 말해,

B-L을 늘려도 근은 같아지지 않을까?

라는 생각에서 온 것이다.

이런식으로 근을 가정해준다.

수학적 조작을 통해 우리는 최종적으로 빨간 박스식을 얻게된다.

저 빨간 박스식이 존재하기 위해선

좌변의 계수가 상수여야만 한다.

즉, constant로 만드는 δ가 존재하면

similarity가 가능하다는 것이다.

편의를 위해 constant =  로 두었다.

결론적으로 우리는 위와 같은 식을 얻게 된다.