05. 1차 공정

공정제어

PART 05. 1차 공정

1차 공정은 1차 선형미분방정식으로 동특성이 표현되는 공정을 말한다.

입력 u가 들어갔을 때

출력 y가 1차 공정을 거쳐서

나오게 된다.

전달함수는 위와 같이 나타낼 수 있다.

이때, K는 정상상태 이득

τ는 시정수라고 부른다.

위 식을 역변환하면 다음과 같다.

한편, 위와 같은 1차 공정에 대해

입력신호 u는 계단, 임펄스, 싸인파 등 여러가지가 있다.

1. 계단 입력신호에 대한 응답

계단 입력은 위와 같이 나타낼 수 있다.

U(t)는

인 함수이다.

따라서, 1을 라플라스 변환하면

1/s 가 나오고 다음과 같이 대입하여 식을 전개 할 수 있다.

부분분수로 쪼갠 식을 역변환하면

다음과 같은 식을 얻게된다.

따라서, 위에서 얻은 y(t)를 시간에 따라 그리면

다음과 같은 그래프를 얻게 된다.

Steady-state가 되었을 때,

응답은 KA에 수렴하게 된다.

이러한 식은

라플라스의 최종값 정리를 통해서도 확인 할 수 있다.

또한,

t = τ 일때, 공정출력은 최종값의 63.2%에 도달하게 된다.

τ는 응답이 얼마나 빠른 가를 나타내는 지표이다.

마지막으로,

t = 0 일때 기울기는 0이 아니다.

2. 임펄스 입력신호에 대한 응답

위 수식과 같이,

단위 임펄스 신호의 라플라스 변환은

u(s) = 1 이며,

다음과 같은 함수로 나타난다.

3. 싸인파 입력신호에 대한 응답

진폭이 A이며

주파수가 w인 사인파의 라플라스 변환은 다음과 같다.

따라서, 공정출력은 다음과 같다.

위 식을 역변환하면 다음 식을 얻을 수 있다.

이때, y(t)는 초기 과도 응답 initial transient response와

지속되는 응답 sustaining response로 나뉘는데

지속되는 응답은 주파수 응답이라 한다.

이때, 진폭 AR과 위상각 Phase angle을 다음과 같이 정의한다.

진폭과 위상각은 라플라스 변환을 통해 얻을 수 있지만,

다음과 같은 방법으로 보다 쉽게 구할 수 있다.

즉, 전달함수에

허수 j와 주파수 w를 곱한 값을 넣은 후

그것의 크기와 각도를 구하면 된다.

이때, Bode 선도를 통하여

주파수 w가 변할 때,

AR과 Φ를 구할 수 있다.

다음과 같은 정보를 통해

Bode 선도를 그린다.